CÁLCULO DIFERENCIAL
El cálculo diferencial
es una parte del análisis de expresion oral que consiste en el estudio del
cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables
independientes de las funciones o campos objeto del análisis. El principal
objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción
estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
En el estudio del
cambio de una función, es decir, cuando cambian sus variables independientes es
de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de
las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace
tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya
constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la
principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial
y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Antecedentes del cálculo diferencial
Los problemas típicos
que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época
clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), con conceptos de tipo geométrico
como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se
encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta el siglo XVII por la obra
de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.
Ellos sintetizaron dos
conceptos y métodos usados por sus predecesores en lo que hoy llamamos
«diferenciación» e «integración». Desarrollaron reglas para manipular las
derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos
(teorema fundamental del cálculo).
Desde el siglo XVII,
muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el siglo XIX, el
cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos como Augustin Louis
Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), y Karl Weierstrass
(1815–1897). Fue también durante este periodo que el cálculo diferencial fue
generalizado al espacio euclídeo y el plano complejo.
Noción de derivada
Las derivadas se
definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se
van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar
directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo
conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por
ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el
límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de
la recta tangente
